Sfæle
En lille note med henvisninger til sfælen sådan at de personer jeg mødte på ICME-12, MCG-7og PME-36 kan få mere at vide om den.
Tilbage i 1990'erne arbejdede jeg med det jeg har døbt en sfæle. Det var mit håb at sfælen kunne bruges i skolens matematikundervisning, men det viste sig at være alt forsvært at samle en ordentlig sfæle i papir. Uanset om det var lærere eller elever som forsøgte, så blev det til en krøllet sfæle. Så jeg opgav at bruge sfæler i undervisningen.
Rent tilfældigt var der en lærer som i foråret 2012 spurgte mig hvordan jeg havde lavet den, og jeg fremstillede til den lejlighed et par tegninger i både 3D og 2D af den, og sendte dem til ham. Og blot to dage senere fik jeg en video med to meget engagerede lærere som på lærerværelset legede med en sfæle de havde lavet i træ. Videoen viste jeg til Morten Blomhøj, som foreslog mig at jeg fik lavet nogen på IMFUFAs værksted, og den første af dem kom så på en turne til Asien i sommeren 2012. Jeg brugte den i stedet for en poster og for at være helt ærlig så tror jeg at jeg kom meget bedre i kontakt med andre deltagere på den måde.
Fornyelig under en præsentation hvor jeg viste sfælen og senere ved samme lejlighed men i en anden sammenhæng viste tre grafer som handler om noget helt andet (som jeg ikke har nogen planer om at fortælle om her) var der en tilhører som bemærkede til et af mine spørgsmål at en af graferne kunne være en graf af sfælen. For at være ærlig så var min reaktion på det for hurtig, og jeg bed ikke tilstrækkeligt mærke i det før et par dage senere hvor det gik op for mig at der er ligheder mellem en sfæle og et tetraeder, når man betragter sfælen på en bestemt måde.
Det er også værd at tænke over at sfælen er en rumlig to-kant. Og så kan man begynde at spekulere over Eulers polyedersætning.
Sphericon
A tiny note with references on the Sphericon so people I met on ICME-12, MCG-7 and PME-36 can read more on this object. I was not the first to study this object and since then several others has worked with this 3D object but I believe I actually was first to use it as a learning tool on teachers and pupils.
I did most of my work on this around 1998 but as it turned out to be too difficult to assemble in paper for pupils and teachers, I gave up on the Sphericon in my teaching.
Later,
I took it up again after having left it behind for a couple of years just because a teacher wrote to me about how he could make sphericons. Times were different so now I could quickly do a couple of 3D (and 2D) sketches of the sphericon so he was able to make some.
He did and sent me a video showing what happens when to very experienced teachers get hold of a new toy. When I showed this video to Morten Blomhøj he suggested that I had the factory at IMFUFA make some and the first and so far only one I used for a kind of a travelling poster at the different conferences. It really gave great opportunities to meet other participants that way.
During a presentation where I showed graphs of solids a member of the audience to one of my questions suggested that one of the graphs could be a graph of the Sphericon. To be honest I was too fast in my reaction, so I didn't pay any attention to this until a couple of days later where I all of a sudden realized there is similarities between a Sphericon and a tetrahedron if you look at the Sphericon in a certain way.
Also worth noting that the Spericon is a solid 2-edge. And then you can begin to consider Euler's polyhedron formula.
Det har vist sig at der findes mere end et patent på legemet, så flere hævder at være ophavsmand til den samme ting. Det ældste jeg har fundet indtil videre er fra omkring 1930 i forbindelse med blandingsmaskiner. De næste spor af sfæle har jeg fundet omkring 1970 og siden den gang er sfælen blevet genopdaget cirka en gang hvert tiende år.
Hvis man vil vide mere om sfælen er Sphericon et godt sted at begynde fordi der ligger en del gode henvisninger på de sider.
Så har sønnen til den mand som genopdagede sfælen lavet Sphericon hvor man kan finde oplysninge om de fleste egenskaber ved legemet, dog ikke alle.
Jeg selv lavede i slutning af årtusindet en skabelon i papir men som sagt så er den ikke nem at få lavet på den måde. En dansk lærer har fundet ud af at hvis man sætter skabelonen fast på et stykket stof og syer begge dele til en sfæle, så bliver det nemmere. Men om legemet så har tilstrækkeligt stive sider eller om legemet kommer til at opføre sig mere som en bold ved jeg ikke. Det må du selv prøve.
Flere steder at læse: Papir modeller (det ser ud til at de har set min skabelon, men jeg er glad for at kunne dele den) og Steve's Sphericon Saga
Hvis man betraget sfælen som et virkeligt objekt der skal modelleres, så kan man vælge at bruge en woobler som model. Den ene af de to grønne figurer er en sådan wobbler, men hvis du er i tvivl så søge på nettet så finder du nemt ud af hvad det er for et objekt. Du kan nemt lave en wobbler ved at tage to ølbrikker (papskiver til at lægge under drikkeglas) og skærer en rille i hver af dem ind mod centrum. Rillen skal have samme bredde som papskiven for ellers folder de en smule.
Det man kan lægge mærke til er at en wobbler kan bevæge sige i en slingrende og trillende bevægelse. Det minder om sfæles bevægelse, men da wobbleren blot er en model, så hold øje med fejlene, for det væsentlig ved en model er at der er fejl, men at modellen samtidig er anvendelig.
En sfæle er ikke kun nyttig i matematik undervisning, men også i fysik. Og det er der nogen som har skrevet både artikler, men også en bog hvori det indgår.
En af artiklerne fra 2003 kan findes her - så selv om artiklen aldrig har været publiceret så kan man komme til at læse den. Du kan også studere legemer med konstant bredde (en sfæle har ikke konstant bredde, hvordan kan du nemt se det) på How round is your circle (du kan købe en bog med samme titel med en masse spændende om det).
I dag er det blevet nemmere at lave sin egen sfæle. Søg på det Sphericon og 3D print: det vil pege på en del steder hvor man kan få fremstillet en STL fil, som kan bruges som input til en 3D printer.
Endelig vil jeg anbefale at kigge her http://www.peterrand.ca/Welcome.html
There is more than one patent for this solid and accordingly more than one claim. I have tracked it back to around 1930 where as far as I know nothing really happened, then it surfaces again around 1970 and since then at least once every decade. At least two patents has been taken out and one copyright. Given this, my belief is that no one hold any rights to this object.
A place to begin mostly because it is very concise and has some important links Sphericon
And then these pages by the son of the around 1970 inventor about the Sphericon. There you will have the most, but actually not all properties of a Sphericon.
A template to make a Sphericon from - sorry for the template being in Danish, but... It is important to know that despite it is told elsewhere that it is easy to make a Sphericon in paper it most certainly is not. It is very difficult. A Danish teacher has figured out that if you attach the paper template to a fabric (cotton or whatever) and then stitch the whole thing together - both the paper and the fabric - it becomes more easy. On the other hand, I wonder if the object will be sufficient stiff or if it turn more into a kind of ball. You will have to try it out for yourself.
More pages: Paper models (a template looks very much to have mine as origin and I am happy to share) and Steve's Sphericon Saga
A Sphericon can be modeled by a wobbler (try to do a search on youtube and you will find) and a wobbler is very easy to make. All you need is two coasters and something to cut a small slit in each of them from the edges toward the center. Next, assemble the two parts along the slit. Now, this can roll or wobble in almost the same manner as a Sphericon. Despite this, a wobbler is nothing but a model of a sphericon and the most import feature for a model is that it has flaws but on the other hand is useful. So look for the flaws and note how useful flaws can be.
The object can be used not only in math teaching but in physics as well. There is a book in German about a lot of this (a much more). It is well worth the money. One of the authors has an unpublished paper from 2003, which you can get from here - so much for unpublished. You can also go to study Solids of constant width (a Spherion does not have constant width) from the webpage How round is your circle (you can by this as a book with the same title if you prefer this media).
The Sphericon does not have constant width although it is related to solids with constant width because it is on the other hand it is a roller. It rolls in a straight line and of course, it differs from wobblers in that sense.
Today is has been more easy to make sphericons as you can 3D print it. Several webpages offer to make a STL file that can be used as input to a 3D printer.
Finally I can recommend these pages: http://www.peterrand.ca/Welcome.html